em cada instante $t\in\mathbb{R}$.
Cada partícula é sujeita a uma força $\mathbf{F}_i\in\mathbb{R}^3$.
Em um referencial inercial, esse sistema satisfaz as equações diferenciais (segunda lei de Newton)
onde $\mathbf{\ddot r}_i$ indica a aceleração da $i$-ésima partícula, ou seja a segunda derivada do vetor posição $\mathbf{r}_i(t)$ em relação à variável temporal $t$.
Essas equações são as leis de movimento do sistema.
A força $\mathbf{F}_i$ em cada partícula pode depender do instante de tempo $t$ e da posição das várias partículas, representando forças externas ao sistema e forças de interação entre a $i$-ésima partícula e as outras, de modo que em geral temos
onde $$ \mathbf{r}=(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_n)\in \mathbb{R}^{3n} $$ são as coordenadas do sistema, ou seja, um vetor de dimensão $3n$ com as coordenadas espaciais de todas as partículas.
Há vários tipos de forças: gravitacional, elétrica, magnética, elásticas, etc.
Podemos, no entanto, separar alguns tipos de força segundo a sua natureza.
Algumas forças são internas, decorrentes da interação entre as diversas particulas do próprio sistema.
Outras são externas, provenientes de um "campo de força", associada a fatores externos ao sistema, muitas vezes correspondendo a uma situação aproximada em que as partículas consideradas no sistema não influenciam no movimento das partículas consideradas externas. Vamos ver alguns exemplos.
Um exemplo típico de força externa é o campo gravitacional gerado por um corpo relativamente muito maciço e que não é incluído no conjunto de partículas do sistema, como na análise de um corpo em queda livre próximo à superfície da Terra ou mesmo na de um satélite artificial em órbita terrestre.
Da mesma forma, podemos ter campos magnéticos e campos eletromagnéticos, onde certos objetos gerando esses campos não são incluídos no sistema de partículas do modelo.
Há quatro forças fundamentais: fraca, forte, eletromagnética e gravitacional. O tratamento mais geral delas, no entanto, não é através de um sistema finito de partículas pontuais, mas sim através de teorias de campo.
Contudo, algumas situação podem ser bem aproximadas por um sistema discreto, como as que envolvem forças gravitacionais agindo entre partículas que se movem a velocidades bem inferiores à velocidade da luz, ou então entre partículas carregadas eletricamente.
Essas forças podem ser entre partículas elementares ou entre conjuntos de partículas, como no caso da atração gravitacional entre corpos celestes.
Há também forças ditas macroscópicas e provenientes da ação das forças fundamentais em certos conjuntos de partículas tratados como um único objeto, como no caso de forças elásticas entre duas massas ligados por uma mola.
Várias forças de ligações químicas também entram nessa categoria, como a força de van der Walls e forças de torção.
Vamos ver alguns exemplos de forças internas.
Veremos posteriormente que todas essas forças são conservativas, ou seja, provenientes de potenciais.
Sejam $\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2\in \mathbb{R}^3$ as coordenadas do centro de massa, em algum referencial inercial, de dois corpos com massas $m_1, m_2>0$, respectivamente.
Cada corpo exerce uma força de atração gravitacional no outro, que depende das coordenadas dos dois corpos.
Denotando $\mathbf{F}_{i,j}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ a força que o corpo $j$ exerce no corpo $i$, para $i,j=1,2$, $i\neq j$, temos
Sejam $\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\in \mathbb{R}^3$ as coordenadas do centro de massa, em algum referencial inercial, de dois corpos carregados eletricamente com cargas $q_1, q_2\in \mathbb{R}$, respectivamente.
Cada corpo exerce uma força elétrostática no outro, de acordo com a lei de Coulomb.
Denotando $\mathbf{F}_{i,j}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ a força que o corpo $j$ exerce no corpo $i$, para $i,j=1,2$, $i\neq j$, temos
Sejam $\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\in \mathbb{R}^3$ as coordenadas do centro de massa, em algum referencial inercial, de dois corpos com massas $m_1, m_2>0$, respectivamente.
Suponha que esses dois corpos estejam ligados por uma mola harmônica de comprimento de equilíbrio $\ell>0$ e coeficiente de restituição $k>0$.
Cada corpo sofre uma força de restituição proporcional ao deslocamento da mola em relação à posição de equilíbrio.
Denotando por $\mathbf{F}_{i,j}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ a força exercida no corpo $i$ pela mola que a liga ao corpo $j$, para $i,j=1,2$, $i\neq j$, temos
No caso de forças gravitacionais, há situações em que um corpo é muito mais massivo que outro e a influência do menos massivo no mais massivo pode ser desprezada.
Nesse caso, o sistema consiste apenas do menos massivo e a influência do mais massivo pode ser representada por um campo de forças externas.
Mais precisamente, suponha, por exemplo, um objeto próximo à superfície da Terra. Considerando as coordenadas do objeto como $\mathbf{r}=(x,y,z)$, com a coordenada $z$ perpendicular à superfície da Terra e com o sentido de crescimento indicando um afastamento da superfície, então a força gravitacional exercida pela Terra nesse corpo que assumimos de massa $m>0$ é dada por
onde $\mathbf{g}=(0,0,-g)$ e $g$ é a aceleração gravitacional próxima à superfície da Terra.
onde
$$ \mathbf{G} = \mathbf{g} $$é chamado de campo gravitacional uniforme próximo à superfície da Terra.
Há vários tipos de campos de força, correspondentes aos tipos de força.
De fato, podemos ter campos gravitacionais, campos elétricos, campos magnéticos, campos eletro-magnéticos, etc.
respectivamente.
Esse é um caso partícular em que $\mathbf{G}$ é constante, geralmente denotado $\mathbf{G}(\mathbf{r})=\mathbf{g}$, para algum vetor $\mathbf{g}\in \mathbb{R}$ representando a aceleração gravitacional.
No caso clássico em que $\mathbf{r}=(x,y,z)$ e $z$ representa a altura em relação à superfície da Terra, temos $\mathbf{g}=(0,0,-g)$, onde $g$ é a aceleração gravitacional próxima à superfície da Terra.
Um campo magnético $\mathbf{B} = \mathbf{B}(\mathbf{r})$ de $\mathbb{R}^3$ em $\mathbb{R}^3$ exerce uma força em uma partícula carregada eletricamente que é de uma natureza um pouco mais complicada que às anteriores.
Sendo $q$ a carga elétrica, $\mathbf{r}\in \mathbb{R}^3$ a posição, e $\mathbf{\dot r}\in \mathbb{R}^3$ a velocidade, então essa força é dada por
Vamos considerar agora o caso em que as forças no sistema são conservativas, provenientes de um campo potencial escalar.
No caso em que as forças dependem apenas da posição das partículas do sistema, um campo de forças é conservativo quando é menos o gradiente de uma função escalar, dita potencial do campo.
Mais precisamente, $\mathbf{F} =(\mathbf{F}_1, \mathbf{F}_2,\ldots, \mathbf{F}_n)$ é um campo conservativo quando existe uma função escalar $V$, chamada de potencial do campo, tal que
onde $\partial/\partial\mathbf{r}$ indica as derivadas parciais apenas em relação às coordenadas espaciais
$$ \mathbf{r}=(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_n). $$Campo gravitacional uniforme: Em coordenadas $xyz$, o campo gravitacional uniforme $\mathbf{F}(x, y, z) = m\mathbf{g}$, $\mathbf{g} = (0, 0, -g)$ possui como potencial a função escalar $V(x,y,z) = mgz$.
Campo gravitacional: Um sistema gravitacional de $n\in \mathbf{N}$ corpos de massas $m_i>0$ e posições $\mathbf{r}_i\in \mathbb{R}^3$, $i=1,\ldots, n$, é um sistema conservativo com potencial gravitacional
onde $\kappa$ é o coeficiente de restituição da mola, $\ell_0$ é o comprimento de equilíbrio da mola livre e $\mathbf{r} = (\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) \in \mathbb{R}^{6}$.
onde $\epsilon_0$ é a constante de permissividade do meio. O potencial elétrico correspondente é costumeiramente denotado por $\phi$, ao invés de $V$, e tem a forma
$$ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q_iq_j}{\|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\|}, $$onde $\mathbf{r} = (\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) \in \mathbb{R}^{6}$. No caso de várias partículas carregadas eletricamente, basta somar o potencial para cada par de cargas, com a mesma ressalva feita no caso gravitacional, para evitar contar cada potencial duas vezes.
Os campos magnético e eletromagnético também possuem campos potenciais, mas os seus potenciais não são mais funções escalares; são potenciais vetoriais.
O potencial magnético é um campo vetorial $\mathbf{A}$ cujo rotacional é igual ao campo magnético:
No caso de um campo eletromagnético $(\mathbf{B}, \mathbf{E})$, o potencial magnético $\mathbf{A}$ pode ser combinado com o potencial elétrico $\phi$ visto anteriormente para nos dar o potencial eletromagnético.
Nesse caso, o campo eletromagnético são obtidos do potencial eletromagnético por
ao longo de qualquer caminho fechado suave $\gamma$ (i.e. $\gamma$ é uma curva parametrizada suave $\mathbf{r}:[t_0,t_1]\rightarrow \mathbb{R}^3$ com $\mathbf{r}(t_0)=\mathbf{r}(t_1)$.)
Escreva o potencial gravitacional uniforme em um referencial inclinado de uma ângulo $\alpha$, apropriado para o movimento de uma partícula deslizando sobre um plano inclinado próximo à superfície da Terra.
Escreva o potencial associado a três molas harmônicas, ligando cada par de uma série de três partículas de massa $m_i$ no espaço, como em um triângulo, e onde cada mola tem um coeficiente de restituição $k_i$ e um comprimento de equilíbrio $\ell_i$, $i=1,2,3$.
Mostre que se as forças entre duas partículas i) atuam na direção que une essas duas partículas; ii) têm sentidos contrários; iii) têm a mesma magnitude; e iv) essa magnitude dependente apenas da distância entre essas duas partículas, então esse conjunto de forças é conservativo. Mais precisamente, assuma que $\mathbf{F}_{ij}(\mathbf{r})$ tem a forma
onde $\varphi:(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$, e mostre que o potencial é dado por $$ V_{ij}(\mathbf{r})=\psi(\|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\|), $$ para uma determinada função escalar $\psi$.