Séries de Fourier¶

Séries de Fourier¶

• Séries de Fourier são séries compostas de senos e/ou cossenos, ou, ainda, de exponenciais complexas.

• São semelhantes as séries de Tayor, que são séries de potências.

• As séries de Taylor representam funções bastante suaves (ditas reais analíticas, em que a série converge uniformemente em vizinhanças apropriadas).

• Já as séries de Fourier podem representar funções de regularidade bem menor.

• As séries de Fourier podem ser interpretadas de um ponto de vista de álgebra linear, com os senos e cossenos formando uma base ortogonal de um espaço de dimensão infinita e a série sendo a representação da função nessa base.

• Assim como séries de potências, as séries de Fourier podem ser definidas para funções em uma ou mais variáveis.

Séries de Fourier em uma dimensão espacial¶

• Como senos e cossenos são funções periódicas, as séries de Fourier estão naturalmente ligadas a funções periódicas.

• Mas elas também podem são usadas para representar funções definidas em intervalos limitados. Basta observarmos que podemos transladar a função inúmeras vezes para contruir uma função periódica definida em toda a reta.

• Uma série de Fourier de senos e cossenos de uma função $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que seja periódica de período $L$ tem a forma

$$ s(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty a_k \cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) + \sum_{k=1}^\infty b_k \sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right), \quad \forall x\in \mathbb{R}. $$

• Na representação acima, $a_k,b_k \in \mathbb{R}$.

• Na forma complexa, temos coeficientes complexos $c_k\in \mathbb{C}$, $k\in \mathbb{Z}$, com a série dada por

$$ s(x) = \sum_{k\in \mathbb{Z}} c_k e^{\frac{i 2k\pi x}{L}}. $$

• No caso em que $s(x)$ é real, os coeficientes satisfazem a condição de "realidade" $c_{-k} = \overline{c}_k$, como veremos mais pra frente.

Base de funções¶

• Via integração por partes e usando a periodicidade das funções seno e cosseno, podemos mostrar que

$$ \begin{align*} & \int_{-L/2}^{L/2} \cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{2m\pi x}{L}\right)\;\mathrm{d}x = 0, & & \forall k, m = 0, 1, \ldots, \; k\neq m, \\ & \int_{-L/2}^{L/2} \cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{2m\pi x}{L}\right)\;\mathrm{d}x = 0, & & \forall k, m = 0, 1, \ldots, \\ & \int_{-L/2}^{L/2} \cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right)^2\;\mathrm{d}x = L, & & k = 0, \\ & \int_{-L/2}^{L/2} \cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right)^2\;\mathrm{d}x = \frac{L}{2}, & & \forall k= 1, 2, \ldots, \\ & \int_{-L/2}^{L/2} \sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right)^2\;\mathrm{d}x = \frac{L}{2}, & & \forall k=1, 2, \ldots. \end{align*} $$

• Isso mostra que esses senos e cossenos formam um conjunto ortogonal no espaço das funções (de quadrado integrável) em $[-L/2, L/2]$, quando munido do produto interno

$$ \langle f, g \rangle = \int_{-L/2}^{L/2} f(x)g(x)\;\mathrm{d} x $$

e norma $$ \|f\| = \left(\int_{-L/2}^{L/2} |f(x)|^2\;\mathrm{d} x\right)^{1/2}. $$

• Esse conjunto pode ser normalizado, formando um conjunto ortonormal, dividindo-se os seus elementos por $\sqrt{2/L}$.

Coeficientes¶

• Dada uma função periódica $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ de período $L$, podemos obter os coeficientes de Fourier de $f$ através de "projeções", nas direções ortogonais geradas pelo conjunto ortogonal (ou ortonomal, se normalizados) de senos e cossenos:

$$ \begin{align*} a_0 & = \frac{1}{\|w_0\|^2}\langle f, w_0\rangle = \frac{1}{L} \int_{-L/2}^{L/2} f(x) \;\mathrm{d}x, \\ a_k & = \frac{1}{\|w_{c,k}\|^2}\langle f, w_{c,k} \rangle = \frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2} f(x)\cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) \;\mathrm{d}x, & & k = 1, 2, \ldots, \\ b_k & = \frac{1}{\|w_{s,k}\|^2}\langle f, w_{s,k} \rangle = \frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2} f(x)\sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) \;\mathrm{d}x, & & k = 1, 2, \ldots. \end{align*} $$

• Acima, denotamos o conjunto ortogonal (não-normalizado) por

$$ w_0(x) = 1, \quad w_{c,k} = \cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right), \quad w_{s,k} = \sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right), \quad k = 1, 2, \ldots. $$

• A expansão em séries de Fourier pode ser escrita na forma

$$ f = c_0 w_0 + \sum_{k=1}^\infty c_{c,k} w_{c,k} + \sum_{k=1}^\infty c_{s,k} w_{s,k}. \\ $$

Versão ortonormal¶

• Podemos normalizar o conjunto ortogonal, obtendo o conjunto ortonormal (verifique!)

$$ \tilde w_0(x) = \frac{1}{\sqrt{L}}, \quad \tilde w_{c,k} = \sqrt{\frac{2}{L}}\cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right), \quad \tilde w_{s,k} = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right), \quad k = 1, 2, \ldots. $$

• Nesse caso, os coeficientes são

$$ \begin{align*} \tilde a_0 & = \langle f, \tilde w_0\rangle = \frac{1}{\sqrt{L}} \int_{-L}^L f(x) \;\mathrm{d}x, \\ \tilde a_k & = \langle f, \tilde w_{c,k} \rangle = \sqrt{\frac{2}{L}}\int_{-L}^L f(x)\cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) \;\mathrm{d}x, & & k = 1, 2, \ldots, \\ \tilde b_k & = \sqrt{\frac{2}{L}}\int_{-L/2}^{L/2} f(x)\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right) \;\mathrm{d}x, & & k = 1, 2, \ldots. \end{align*} $$

• E a expansão toma a forma

$$ f = \tilde c_0 \tilde w_0 + \sum_{k=1}^\infty \tilde c_{c,k} \tilde w_{c,k} + \sum_{k=1}^\infty \tilde c_{s,k} \tilde w_{s,k}. \\ $$

Coeficientes da série de exponenciais complexas¶

• No caso da expansão em exponenciais complexas de uma função $L$-periódica $f$, temos

$$ f(x) = \sum_{k\in \mathbb{Z}} c_k e^{\frac{i 2k\pi x}{L}}. $$

• Nesse caso, os coeficientes complexos $c_k$ são dados por

$$ c_k = \frac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2} f(x)e^{-\frac{i 2k\pi x}{L}}\;\mathrm{d}x. $$

Série de Fourier de funções definitas em intervalos limitados¶

• Dada uma função definida em um intervalo limitado de comprimento $L$, digamos $f:[x_0, x_0+L]\rightarrow\mathbb{R}$, podemos estender $f$ a uma função $L$-periódica na reta fazendo cópias transladadas de $f$.

• Nesse caso, a série de Fourier da função estendida também representa a função original quando a série é restrita ao intervalor $[x_0, x_0 + L]$.

• E por conta das translações, os coeficientes podem ser escritos em termos da função original e de integrais no intervalo $[x_0, x_0 + L]$.

• Por exemplo, para uma função $f:[0,L] \rightarrow \infty$, temos os coeficientes

$$ \begin{align*} a_0 & = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} f(x) \;\mathrm{d}x, \\ a_k & = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) \;\mathrm{d}x, & & k = 1, 2, \ldots, \\ b_k & = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) \;\mathrm{d}x, & & k = 1, 2, \ldots. \end{align*} $$

• Dois casos típicos são $L=1$ e $L=2\pi$. No caso $L=1$, temos

$$ \begin{align*} a_0 & = \int_{0}^{1} f(x) \;\mathrm{d}x, \\ a_k & = 2\int_{0}^{1} f(x)\cos\left(2k\pi x\right) \;\mathrm{d}x, & & k = 1, 2, \ldots, \\ b_k & = 2\int_{0}^{1} f(x)\sin\left(2k\pi x\right) \;\mathrm{d}x, & & k = 1, 2, \ldots. \end{align*} $$

• No caso $L=2\pi$, temos a base de $\sin(k x)$, $\cos(kx)$ e os coeficientes

$$ \begin{align*} a_0 & = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \;\mathrm{d}x, \\ a_k & = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x)\cos\left(kx\right) \;\mathrm{d}x, & & k = 1, 2, \ldots, \\ b_k & = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x)\sin\left(kx\right) \;\mathrm{d}x, & & k = 1, 2, \ldots. \end{align*} $$

Série de cossenos¶

• Observe que, se $f$ for simétrica, i.e. $f(x) = f(-x)$, $x\in [-L/2, L/2]$, então, sendo $\sin(2k\pi x/L)$ antisimétrico, o integrando $f(x)\sin(2k\pi x/L)$ é antisimétrico e os coeficientes $b_k$ todos se anulam.

• Com isso, para uma função simétrica, temos apenas uma série de cossenos:

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty a_k \cos\left(\frac{2k \pi x}{L}\right), \quad x\in [-L/2,L/2]. $$

• Observe, ainda, que, por conta de $x \mapsto f(x)\cos(2k\pi x/L)$ ser simétrico em relação a $x \mapsto -x$, os coeficientes restantes, $a_k$, podem ser escritos como

$$ \begin{align*} a_0 & = \frac{2}{L} \int_0^{L/2} f(x) \;\mathrm{d}x, \\ a_k & = \frac{4}{L}\int_0^{L/2} f(x)\cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) \;\mathrm{d}x, & & k = 1, 2, \ldots. \end{align*} $$

• Por fim, se inicialmente temos uma função qualquer $f$ dada no intervalo $[0,L]$, então podemos estendê-la a uma função simétrica em $[-L,L]$ com

$$ \bar f(x) = \begin{cases} f(x), & x\in [0, L], \\ f(-x), & x\in [-L, 0). \end{cases} $$

• Para $\bar f$, temos uma série apenas de cossenos, conforme argumentado acima. Mas, no final das contas, restringindo a série a apenas o intervalo $[0,L]$, isso nos dá uma série de cossenos para uma função arbitrária $f$, não apenas para as simétricas.

• Nesse caso, observe que os coeficientes são ligeiramente diferentes, sendo o dobro dos coeficientes da série que contém tanto senos como cossenos, pois teremos um intervalo $[-\tilde L/2, \tilde L/2]$, com $\tilde L = 2L$, não havendo contradições.

• Nesse caso, os elementos da base são

$$ \cos\left(\frac{2k\pi x}{\tilde L}\right) = \cos\left(\frac{k\pi x}{L}\right), \quad k=1,2,\ldots. $$

• Vale ressaltar, como antes, que isso pode ser adaptado a funções definidas em intervalos quaisquer $[x_0,x_0+L]$, $-\infty<x_0<\infty$, $L>0$.

Série de senos¶

• Analogamente, se $f$ for antisimétrica, i.e. $f(x) = -f(-x)$, $x\in [-L/2, L/2]$, então, sendo $\cos(2k\pi x/L)$ simétrico, o integrando $f(x)\cos(2k\pi x/L)$ é antisimétrico e os coeficientes $a_k$ todos se anulam.

• Com isso, para uma função anti-simétrica, temos apenas uma série de senos:

$$ f(x) = \sum_{k=1}^\infty b_k \sin\left(\frac{2k \pi x}{L}\right), \quad x\in [-L/2,L/2]. $$

• Da mesma forma, como $x \mapsto f(x)\sin(2k\pi x/L)$ é simétrico em relação a $x \mapsto -x$, os coeficientes restantes, $b_k$, podem ser escritos como

$$ b_k = \frac{4}{L}\int_0^{L/2} f(x)\sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) \;\mathrm{d}x, k = 1, 2, \ldots. $$

• Por fim, se inicialmente temos uma função qualquer $f$ dada no intervalo $[0,L]$, então podemos estendê-la a uma função anti-simétrica em $[-L,L]$

$$ \bar f(x) = \begin{cases} f(x), & x\in [0, L], \\ -f(-x), & x\in [-L, 0). \end{cases} $$

• Para $\bar f$, temos uma série apenas de senos, conforme argumentado acima. Mas, no final das contas, restringindo a série a apenas o intervalo $[0,L]$, isso nos dá uma série de senos para uma função arbitrária $f$, não apenas para as anti-simétricas.

• Mais uma vez, observe que os coeficientes são ligeiramente diferentes, sendo o dobro dos coeficientes da série que contém tanto senos como cossenos, pois teremos um intervalo $[-\tilde L/2, \tilde L/2]$, com $\tilde L = 2L$, não havendo contradições.

• Nesse caso, os elementos da base são

$$ \sin\left(\frac{2k\pi x}{\tilde L}\right) = \sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right), \quad k=1,2,\ldots. $$

• Vale ressaltar, como antes, que isso pode ser adaptado a funções definidas em intervalos quaisquer $[x_0,x_0+L]$, $-\infty<x_0<\infty$, $L>0$.

Funções se anulando nos extremos¶

• A série de senos é particularmente útil para funções que se anulam nos extremos.

• Isso está ligado ao fato de que todas os senos $\sin(k\pi x/L)$ da base ortonormal se anulam nos extremos $[0,L]$.

• Por outro ponto de vista, se $f:[0,L]\rightarrow \mathbb{R}$ é uma função suave, contínua e que se anula nos extremos, então a extensão a seguir é antisimétrica e contínua em $[-L,L]$

$$ \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), & 0\leq x \leq L, \\ -f(-x), & L \leq x < 0. \end{cases} $$

• Observe, aliás, que repetindo a função a cada intervalo $2nL + [-L, L]$, $n\in \mathbb{Z}$, obtemos uma função periódica contínua em toda a reta.

• Mais ainda, se $f$ for continuamente diferenciável em $[0,L]$ (considerando derivada à direito em $x=0$ e à esquerda em $x=L$), então essas extensões também são continuamente diferenciáveis.

Funções com derivadas se anulando nos extremos¶

• No caso em que $f:[0,L]\rightarrow \mathbb{R}$ é periódica, com $f(0)=f(L)$, $f'(0)=f'(L)$, etc., então a extensão simétrica para $[-L,L]$ tem a mesma regularidade de $f$ até onde as derivadas nos extremos coincidem.

• Nesse caso, a série de cossenos é bastante apropriada.

Representação complexa¶

• A versão complexa pode ser escrita em termos de senos e cossenos graças à identidade de Euler,

$$ e^{\frac{\pm 2ik\pi x}{L}} = \cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) \pm i\sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) $$

• De fato, usando as propriedades de simetria e anti-simetria do cosseno e do seno, respectivamente,

$$ c_k e^{\frac{2ik\pi x}{L}} + c_{-k} e^{\frac{-2ik\pi x}{L}} = (c_k + c_{-k}) \cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) + i (c_k - c_{-k})\sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) $$

• Sob quais condições temos $a_k$, $b_k$ reais tais

$$ c_k e^{\frac{2ik\pi x}{L}} + c_{-k} e^{\frac{-2ik\pi x}{L}} = a_k \cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) + b_k\sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right). $$

• Para isso, precisamos que

$$ c_k + c_{-k} = a_k \in \mathbb{R}, \quad i(c_k - c_{-k}) = b_k \in \mathbb{R}. $$

• Escrevendo $c_k=\alpha_k + i\beta_k$ e $c_{-k} = \alpha_{-k} + i\beta_{-k}$, com os alfas e betas reais, temos

$$ \begin{align*} c_k + c_{-k} & = \alpha_k + \alpha_{-k} + i(\beta_k + \beta_{-k}) \quad \Longrightarrow \quad \beta_k = -\beta_{-k} \\ i(c_k - c_{-k}) & = - (\beta_k - \beta_{-k}) + i(\alpha_k - \alpha_{-k}) \quad \Longrightarrow \quad \alpha_k = \alpha_{-k} \end{align*} $$

• Logo, $c_{-k} = \alpha_{-k} + i\beta_{-k} = \alpha_k - i\beta_k = \overline{c_k}$.

• Ou seja, os coeficientes devem ser complexos conjugados entre si:

$$ c_{-k} = \overline{c_k}. $$

• Além disso, podemos escrever, mais explicitamente, que

$$ c_0 = \frac{a_0}{2}, \quad c_k = \frac{a_k + ib_k}{2}, \quad c_{-k} = \frac{a_k - ib_k}{2}, \qquad k=1, 2, \ldots. $$

• Inversamente,

$$ a_0 = 2c_0, \quad a_k = 2\mathrm{Re}(c_k), \quad b_k = 2\mathrm{Im}(c_k), \qquad k=1,2,\ldots. $$

Fase da onda¶

• Ambos $\sin(2k\pi x/L)$ e $\cos(2k\pi x/L)$ têm o mesmo período $L/k$ e a mesma frequência $\omega = k/L$. Assim como qualquer combinação linear deles.

• Eles todos podem ser escritos na forma de seno ou de cosseno através da inclusão de um termo de translação chamado de fase.

• Denotando essa fase por $\varphi$, temos, por exemplo,

$$ \sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) = \cos\left(\varphi + \frac{2k\pi x}{L}\right), \quad \varphi = \frac{\pi}{2}. $$

• Mais geralmente, se $A$ e $B$ são reais, então $\alpha = A/\sqrt{A^2+B^2}$ e $\beta=B/\sqrt{A^2+B^2}$ são tais que $\alpha^2 + \beta^2 = 1$.

• Assim, existe um ângulo $\varphi$ tal que $\alpha = \cos\varphi$ e $\beta=\sin\varphi$, de modo que

$$ \begin{align*} A\sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) + B \cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) & = \sqrt{A^2+B^2}\left(\alpha\sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) + \beta \cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) \right) \\ & = \sqrt{A^2+B^2}\left(\cos\varphi\sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) + \sin\varphi \cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) \right) \\ & = \sqrt{A^2+B^2}\sin\left(\varphi + \frac{2k\pi x}{L}\right). \end{align*} $$

• Escolhendo, de outra forma, a fase $\varphi$ tal que $\alpha = -\sin\varphi$ e $\beta=\cos\varphi$, também podemos escrever

$$ \begin{align*} A\sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) + B \cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) & = \sqrt{A^2+B^2}\left(\alpha\sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) + \beta \cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) \right) \\ & = \sqrt{A^2+B^2}\left(-\sin\varphi\sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) + \cos\varphi \cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) \right) \\ & = \sqrt{A^2+B^2} \cos\left(\varphi + \frac{2k\pi x}{L}\right). \end{align*} $$

Amplitude¶

• Pensando em uma onda senoidal

$$ a_k\sin\left(\frac{2k\pi x}{L}\right) + b_k \cos\left(\frac{2k\pi x}{L}\right), \quad k=1, 2, \ldots. $$

• Vimos acima que podemos escrevê-la em termos de um único seno ou um único cosseno, com uma fase apropriada e com a amplitude

$$ R = \sqrt{a_k^2 + b_k^2} $$

• E lembrando das relações

$$ a_0 = 2c_0, \quad a_k = 2\mathrm{Re}(c_k), \quad b_k = 2\mathrm{Im}(c_k), \qquad k=1,2,\ldots. $$

• Vemos que

$$ R = \sqrt{4\mathrm{Re}(c_k)^2 + 4\mathrm{Im}(c_k)^2} = 2 |c_k|, \quad k=1,2,\ldots. $$

• No caso $k=0$, pensando no coeficiente de Fourier $a_0/2$, a amplitude dessa "onda" constante é o próprio $a_0/2$, portanto,

$$ R = \frac{|a_0|}{2} = |c_0| $$

Convergência¶

• A convergência da série para a função depende da regularidade da função.

• Na verdade, há vários tipos de convergência (pontual, uniforme, quase-sempre, etc.) e várias condições para essas convergências.

• Por exemplo, caso uma função $f$ seja diferenciável em um ponto, então a série converge pontualmente para $f$, nesse ponto, naturalmente.

• Caso a função seja continuamente diferenciável no intervalo, então a convergência é uniforme.

• As convergências pontual e uniforme acima se estendem, ainda, aos casos em que $f$ é Hölder contínua no ponto ou no intervalo, respectivamente.

• Caso a função seja descontínua em um ponto, mas com limites e derivadas bem definidas em cada lado do ponto, então a série converge naquele ponto, para o valor médio dos limites laterais da função, sofrendo, no entanto, o efeito de Gibbs, em que as somas parcias da série oscilam cada vez mais, conforme mais termos são incluídos.

• Caso a função seja de quadrado integrável, então a convergência se dá na norma $L^2$, i.e. do espaço de funções de quadrado integrável.

• Caso a função pertença a um espaço $L^p$ com $p>1$, i.e. a sua potência $p$ seja integrável, então a convergência é quase-sempre.

• Caso a função seja apenas contínua, a série pode não convergir...

Convergência em $L^2$¶

• A convergência em $L^2$ é a mais simples de se "enxergar".

• Como dito acima, é uma generalização, para dimensão infinita, do conceito de representação de um vetor em uma base ortogonal.

• O espaço $L^2$ é um exemplo do que chamamos, mais geralmente, de um espaço de Hilbert:

  • Possui um produto interno;
  • É completo, o que significa dizer que sequências de Cauchy convergem.

• Outro exemplo bastante conhecido é o espaço Euclidiano, ou seja, o $\mathbb{R}^n$ munido do produto escalar.

Convergência em $L^2$ da série de senos¶

• Para simplificar, vamos considerar apenas a série de senos, mas as mesmas ideias podem ser reproduzidas para as outras séries.

• Vamos considerar uma função no intervalo $I=[0,L]$, buscando a representação obtida com o argumento acima de extensão para uma função anti-simétrica.

• Denotamos o conjunto ortogonal de senos por $\{w_{s,k}\}_{k\in\mathbb{N}}$, onde

$$ w_{s,k}(x) = \sin\left(\frac{k \pi x}{L}\right), \quad 0\leq x \leq L. $$

• O espaço $L^2(0,L)$ é o conjunto de funções de quadrado integrável em $I$, com produto interno e normas dados por

$$ \langle f, g \rangle = \int_0^L f(x)g(x)\;\mathrm{d} x, \qquad \|f\| = \left(\int_0^L |f(x)|^2\;\mathrm{d} x\right)^{1/2}. $$

Coeficientes de Fourier e somas parciais¶

• Dada uma função $f$ em $L^2(0,L)$, denotamos os coeficientes de Fourier de $f$ por

$$ \hat f_k = \frac{1}{\|w_{s,k}\|^2}\langle f, w_{s,k} \rangle, \quad k=1, 2, \ldots. $$

• Como $f$ tem quadrado integrável (bastaria integrável), os coeficientes estão bem definidos.

• As somas parciais são denotadas por

$$ S_m(f) = \sum_{k=1}^m \hat f_k w_{s,k}. $$

Somas parciais como projeções ortogonais¶

• Um primeiro resultado importante é que cada soma parcial $S_m(f)$ é a melhor aproximação de $f$ no subsespaço $E_m$ gerado pelos primeiros $m$ elementos $w_{s,1}, \ldots, w_{s,m},$ do conjunto ortogonal.

• De fato, $S_m(f)$ é a projeção ortogonal de $f$ em $E_m$.

• Para ver isso, precisamos mostrar que $f-S_m(f) \perp v$, para qualquer $v\in E_m$, ou seja

$$ \langle f - S_m(f), v \rangle = 0, \qquad \forall \in E_m. $$

• Mais explicitamente, devemos mostrar que

$$ \langle f - \sum_{k=1}^m \hat f_k w_{s,k}, \sum_{j=1} c_j w_{s,j} \rangle = 0, $$

para quaisquer $c_1, \ldots, c_m\in \mathbb{R}$.

• Como o conjunto é ortogonal, temos

$$ \begin{align*} \langle f - \sum_{k=1}^m \hat f_k w_{s,k}, \sum_{j=1}^m c_j w_{s,j} \rangle & = \sum_{j=1}^m c_j\langle f, w_{s,j}\rangle - \sum_{k=1}^m \hat f_kc_k\|w_{s,k}\|^2 \\ & = \sum_{k=1}^m c_k \left(\langle f, w_{s,j}\rangle - \hat f_k\|w_{s,k}\|^2 \right). \end{align*} $$

• Lembrando que $\hat f_k = \langle f, w_{s,k} \rangle/\|w_{s,k}\|^2$, vemos que cada termo do somatório acima se anula, nos dando a ortogonalidade.

• A construção acima, na verdade, pode ser usada como ponto de partida para a obtenção dos coeficientes de Fourier apropriados.

Somas parciais como melhores aproximações¶

• Naturalmente, como $E_m \subset E_n$, para quaisquer $m\leq n$, as aproximações ficam cada vez melhores (a menos que $f\in E_m$).

• Mais precisamente, observe, primeiro, que

$$ \begin{align*} \|f - S_m(f)\|^2 & = \|f - S_n(f) + S_n(f) - S_m(f)\|^2 \\ & = \|f - S_n(f)\|^2 + 2\langle f - S_n(f), S_n(f) - S_m(f) \rangle + \|S_n(f) - S_m(f)\|^2. \end{align*} $$

• Como $S_n(f), S_m(f)\in E_n$, então $S_n(f)-S_m(f) \in E_n$.

• Como $S_n(f)$ é a projeção ortogonal de $f$ em $E_n$, então $f-S_n(f)$ é perpendicular a $E_n$, em particular ortogonal a $S_n(f)-S_m(f)$.

• Assim, $\langle f - S_n(f), S_n(f) - S_m(f) \rangle = 0$, de modo que

$$ \|f - S_m(f)\|^2 = \|f - S_n(f)\|^2 + \|S_n(f) - S_m(f)\|^2 \geq \|f - S_n(f)\|^2. $$

• Além disso, se $f\notin E_m$, então $S_n(f) \neq S_m(f)$ e vale a desigualdade estrita

$$ \|f - S_m(f)\|^2 > \|f - S_n(f)\|^2. $$

Convergência¶

• A convergência é mais delicada.

• Vamos simplificar assumindo hipóteses mais fortes de regularidade.

• Vamos assumir, aqui, que $f$ é continuamente diferenciável.

• Assim, integrando por partes,

$$ \begin{align*} \hat f_k & = \frac{1}{L} \int_0^L f(x)\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right) \;\mathrm{d}x \\ & = - \left.\frac{f(x)}{k\pi}\cos\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\right|_{x=0}^L + \frac{1}{k\pi}\int_0^L f'(x)\cos\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\;\mathrm{d}x \\ & = - \frac{f(L)}{k\pi}(-1)^k + \frac{f(0)}{k\pi} + \frac{1}{k\pi}\int_0^L f'(x)\cos\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\;\mathrm{d}x. \end{align*} $$

• Dessa forma, usando que o cosseno está entre $-1$ e $1$, obtemos a estimativa

$$ |\hat f_k| \leq \frac{1}{k\pi}\left( \max\{|f(0)|, |f(L)|\} + \sqrt{L}\|f'\| \right) = \mathcal{O}\left(\frac{1}{k}\right). $$

• Agora, a sequência de séries parciais satisfaz, com $n>m$,

$$ \begin{align*} \|S_n(f) - S_m(f)\|^2 & = \| \sum_{k=m+1}^n \hat f_k w_{s,k} \|^2 = \sum_{k=m+1}^n |\hat f_k|^2 \|w_{s,k}\|^2 \\ & \leq \sum_{k=m+1}^n \frac{\|f'\|^2}{k^2\pi^2} \leq \sum_{k=m+1}^\infty \frac{\|f'\|^2}{k^2\pi^2} \rightarrow 0, \quad m\rightarrow \infty. \end{align*} $$

• Portanto, $\{S_m(f)\}_m$ é uma sequência de Cauchy em $L^2(0,L)$ e, como esse espaço é completo, converge, em $L^2$, para uma função $s(x)$:

$$ S_m(f) \rightarrow s(s), \quad m\rightarrow \infty. $$

Convergência para $f$¶

• Falta mostra que $s=f$, ou seja, que a série converge, de fato, para $f$, ao invés de para alguma outra função.

• Em princípio, poderíamos ter que o fecho (i.e. os limites) da união dos subespaços $E_n$ fosse um subespaço próprio de $L^2$, i.e. $\overline{\bigcup E_n} \subsetneqq L^2$. Felizmente, isso não acontece.

• Se isso fosse verdade, então teríamos $f - s$ ortogonal a todos os subespaços $E_n$. Ou seja, seria ortogonal a todos os $w_{s, k}$.

• Mas é possível mostrar que se uma função $g\in L^2(0, L)$ é ortogonal a todos os $w_{s, k}$, então $g$ é nula. Aplicando isso a $g = f - s$, obtemos que $f = s$.

Exemplos¶

• Vamos considerar funções em um intervalo $[0,L]$ e expansões em séries de senos.

• No cálculo numérico, definimos uma resolução espacial para a função e um número máximo de termos da série.

Função para cálculo dos coeficientes e das somas parciais da séries¶

Função suave¶

• Primeiramente, vamos considerar uma função suave.

• Escolhemos um polinômio de grau quatro que se anula, junto com as suas derivadas, nos extremos do intervalo $[0,L]$:

$$ f(x) = x^2(L-x)^2. $$

• Nesse caso, como a função é suave, a convergência da série de senos é rápida.

• Mais precisamente, como a função é continuamente infinitas vezes diferenciável e tanto a função quanto a sua primeira derivada se anulam nos extremos do intervalo, os coeficientes da série decam com o quadrado do número de onda $k$.

Onda triangular¶

• Observe que a onda triangular é contínua, e com derivada contínua por partes, portanto a convergência é uniforme.

Decaimento dos coeficientes de Fourier¶

Onda quadrada e o fenômeno de Gibbs¶

• A onda quadrada é contínua por partes e continuamente diferenciável por partes.

• Nos pontos de descontinuidade, a série de Fourier converge para o ponto médio dos valores extremos e apresenta o fenômeno de Gibbs.

Combinação de senos¶

• Para concluir, vamos considerar uma combinação de senos com frequências múltiplas da frequência básica $\nu_1 = 1/(2L)$.

• Nesse caso, esperamos que a função seja igual as somas parciais com um número suficiente de termos.

• E que o espectro seja não negativo apenas nos termos correspondentes às frequências existentes na definição da função.

Exercícios¶

1. Escreva a expansão em série de senos e cossenos de uma função $f$ definida em um intervalo $[L_0, L_1]$, incluindo a fórmula dos coeficientes.

2. Escreva a expansão em série apenas de senos de uma função $f$ definida em um intervalo $[L_0, L_1]$, incluindo a fórmula dos coeficientes.

3. Escreva a expansão em série apenas de cossenos de uma função $f$ definida em um intervalo $[L_0, L_1]$, incluindo a fórmula dos coeficientes.

4. Calcule explicitamente os coeficientes da série de senos da função triangular $f(x) = L-2|x-L/2|$, $0\leq x \leq L$, $L>0$, e observe que todos os coeficientes $\hat f_k$ com $k$ par se anulam.

5. Mostre que se $f:[0,L]\rightarrow \mathbb{R}$ é duas vezes continuamente diferenciável em $[0,L]$ e $f(0)=f(L)=0$, então os coeficientes da série de senos de $f$ decaem da ordem $k^{-2}$.

6. Implemente uma função para o cálculo numérico da expansão em série de cossenos, analoga à feita acima para a série de senos, e calcule os coeficientes e as somas parciais das séries de cossenos das funções trabalhadas acima (polinômio, onda triangular e onda quadrada).