Equações a derivadas parciais e diferenças finitas¶

Objetivos:¶

• Noções básicas de EDPs
• Modelos clássicos de EDPs
• Aproximações numéricas via diferenças finitas

Equações a derivadas parciais¶

• Uma equação a derivada parciais é uma equação cuja incógnita (ou variável dependente) depende de mais de uma variável independente e que envolve derivadas parciais da incógnita.

• Em vários exemplos, uma das variáveis independentes é uma variável temporal, denotada por $t$.

• Outras váriáveis podem indicar coordenadas espaciais, como $x$, $y$, $z$.

• Em outros casos, podemos ter variáveis indicando comprimento de arco $s$, distância $r$ até um ponto ou um eixo, ângulo $\theta$, temperatura, umidade, salinidade, concentração de uma substância, etc.

Notacão¶

• Se $u$ é a variável dependente, podemos denotar as suas derivadas parciais de primeira ordem de várias maneiras, por exemplo,

$$ \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \partial_x u, \quad D_x u, \quad u_x. $$

• As de segunda ordem e, mais geralmente, ordem $n\in \mathbb{N}$,

$$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad \partial_x^2 u, \quad D_x^2 u, \quad u_{xx}, \quad \frac{\partial^n u}{\partial x^n}, \quad \partial_x^n u, \quad D_x^n u, \quad u_{x\cdots x}. $$

• A ordem de uma equação diferencial é dada pela ordem da derivada parcial de maior ordem.

• Certas combinações ou vetores de deriadas parciais recebem notações e denominações especiais, como o gradiente $\nabla u$, o divergente $\nabla \cdot u$ e o laplaciano $\Delta u$, como vistos no curso de Cálculo de várias variáveis.

Exemplos lineares clássicos¶

• Equação de advecção em uma dimensão espacial:

$$u_t + c u_x = 0;$$

• Equaçao de advecção em várias dimensões:

$$u_t + \vec{c} \cdot \nabla u;$$

• Equação do calor em uma dimensão:

$$u_t = \nu u_{xx};$$

• Equação do calor em várias dimensões:

$$u_t = \nu \Delta u;$$

• Equação da onda em uma dimensão:

$$u_{tt} = c^2 u_{xx};$$

• Equação da onda em várias dimensões:

$$u_{tt} = c^2 \Delta u;$$

• Equação de deformação de uma placa isotrópica homogênea:

$$ u_{tt} = - \lambda \Delta^2 u. $$

Exemplos não-lineares clássicos¶

• Equação de Burgers (ondas de choque):

$$u_t + uu_x = 0;$$

• Equação de Korteweg-de Vries (ondas viajantes):

$$u_t + uu_x + u_{xxx} = 0;$$

• Equação de reação e difusão (calor, reações químicas, etc.):

$$u_t = \nu u_{xx} + f(u);$$

• Equação de Navier-Stokes (movimento de fluidos viscosos Newtonianos incompressíveis):

$$ u_t + (u\cdot \nabla)u + \nabla p = \nu\Delta u + f, \quad \nabla \cdot u = 0. $$

• Superfícies mínimas (e.g. formato bolha de sabão)

$$ \nabla \cdot \left( \frac{\nabla u}{\sqrt{1+\|\nabla u \|^2}} \right) = 0. $$

Problema de valor inicial¶

• É comum que uma das variáveis seja a variável temporal e que estejamos interessados em descobrir $u(t,x)$ para $t\geq t_0$, a partir do conhecimento do estado inicial $u(t_0,x) = u_0(x)$, em um instante inicial $t_0$.

• Nesse caso, temos um problema de valor inicial.

Condições de contorno¶

• Na maioria dos casos, a região de interesse não é o espaço todo, nem mesmo um semi-espaço $t\geq t_0$.

• É comum termos um domínio espacial limitado $\Omega\subset \mathbb{R}^d$, em algum espaço Euclidiano $\mathbb{R}^d$ (ou mesmo em uma variedade).

• Nesse caso, esperamos que a equação a derivadas parciais seja satisfeita no domínio $\Omega$, mas sendo necessário determinar o que acontece no bordo $\partial\Omega$ do domínio.

• Nesse caso, temos um problema de valores de contorno.

• Veremos exemplos de problemas de valores de contorno as aplicações.

Aproximando derivadas via diferenças finitas¶

• Há vários métodos numéricos para a resolução de equações a derivadas parciais, como diferenças finitas, elementos finitos, volumes finitos, etc.

• E cada método possui diversas variações.

• Aqui, vamos considerar apenas diferenças finitas.

• Diferenças finitas podem ser justificadas a partir de expansões de Taylor.

Diferença finita de primeira ordem para a frente¶

• Esta é como um método de Euler para a resolução de EDOs.

• Dada uma função diferenciável $u=u(x)$ em um ponto $x\in\mathbb{R}$, temos que

$$ (Du)(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{u(x+h)-u(x)}{h}. $$

• Assim, uma primeira aproximação pode ser obtida tomando-se um $h>0$ relativamente pequeno e considerando-se

$$ (\delta_h^+ u)(x) = \frac{u(x+h)-u(x)}{h}. $$

• Mas quão boa é essa aproximação?

• Isso depende da regularidade de $u$.

Taxa de convergência¶

• Se a função for contínua e diferenciável em todos os pontos mas a sua derivada não for contínua no ponto, então essa aproximação pode nao ser muito boa.

• Por exemplo, considere, para $0<\theta<1$, a função

$$ u(x) = x^{1+\theta}, \qquad x\geq 0. $$

• A sua derivada é contínua e é dada por

$$ u'(x) = (1+\theta)x^\theta, \qquad x\geq 0. $$

• Mas $u(\cdot)$ não é duas vezes diferenciável na origem e $u'(\cdot)$ é apenas Hölder contínua na origem.

• A diferença finita de $u$ na origem é

$$ (\delta_h^+u)(0) = \frac{h^{1+\theta} - 0}{h} = h^\theta. $$

• A convergência $(\delta_h^+u)(0) \rightarrow u'(0)$ pode ser cada vez mais lenta, quanto menor for $\theta$:

$$ |(\delta_h^+u)(0) - u'(0)| \lesssim h^\theta, $$

Ordem da aproximação¶

• Já se a função for continuamente diferenciável, com derivada Lipschitz contínua no origem, então, usando o Teorema Fundamental do Cálculo,

$$ \begin{align*} (\delta_h^+ u)(x) - (Du)(x) & = \frac{u(x+h)-u(x)}{h} - (Du)(x) \\ & = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} (Du)(\xi)\;d\xi - (Du)(x) \\ & = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} \left((Du)(\xi) - (Du)(x)\right)\;d\xi. \end{align*} $$

• Usando a continuidade Lipschitz de $Du$, com constante de Lipchitz $L$, obtemos a aproximação linear

$$ |(\delta_h^+ u)(x) - (Du)(x)| \leq \max_{x\leq \xi \leq x+h} |(Du)(\xi) - (Du)(x)| \leq \max_{x\leq \xi \leq x+h} \frac{1}{h}\int_0^h L\xi \;d\xi \leq \frac{Lh}{2}. $$

• Usando a notação de "$\mathcal{O}$ grande", escrevemos

$$ (\delta_h^+ u)(x) = (Du)(x) + \mathcal{O}(h), \qquad h\rightarrow 0. $$

• Lembrando que "$\mathcal{O}$ grande" significa

$$ f(h) = \mathcal{O}(|h|^\alpha), \;h\rightarrow h_0 \Leftrightarrow \exists C>0, \exists \delta > 0, \; |f(h)-f(h_0)| \leq C |h|^\alpha, \;\forall 0<|h|<\delta, $$

• E "$\mathcal{o}$ pequeno" significa

$$ f(h) = \mathcal{o}(|h|^\alpha), \;h\rightarrow h_0 \Leftrightarrow \frac{|f(h)-f(h_0)|}{|h|^\alpha} \rightarrow 0, \; h\rightarrow h_0. $$

• Essas noções de comportamento assintótico podem ser generalizadas para $h_0=\pm\infty$ e em relação a funções $g=g(h)$ mais gerais que $|h|^\alpha$.

Expansão de Taylor¶

• Assumindo a função suave, podemos escrever, mais diretamente,

$$ u(x+h) = u(x) + u'(x)h + u''(x)\frac{h^2}{2} + \cdots. $$

• Lembre-se que a parte $\cdots$ contém termos de ordem $h^n$, com $n=3,4, \cdots$.

• Assim, podemos escrever

$$ (\delta_h^+ u)(x) = \frac{u(x+h)-u(x)}{h} = u'(x) + u''(x)\frac{h^2}{2} + \cdots. $$

• Portanto,

$$ \left|(\delta_h^+ u)(x) - u'(x)\right| = Ch + \cdots = \mathcal{O}(h). $$

• Da mesma forma, a diferença de primeira ordem para trás, $(\delta_h^- u)(x) = (u(x-h) - u(x))/(-h) = (u(x)-u(x-h))/h$ também é de primeira ordem.

Diferença centrada¶

• Uma aproxição melhor, de segunda ordem, para a primeira derivada, pode ser obtida através de uma diferença centrada:

$$ (\delta_h^0u)(x) = \frac{u(x+h) - u(x-h)}{2h} = \frac{1}{2h}\left( u(x+h) - u(x) + u(x) - u(x-h) \right) = \frac{1}{2h}\left(u'(x)h + u''(x)\frac{h^2}{2} - u'(x)(-h) - u''(x)(-h)^2 + \mathcal{O}(h^3) \right) = u'(x) + \mathcal{O}(h^2). $$

• Observe que

$$ \delta_h^0 = \frac{\delta_h^+ + \delta_h^-}{2}. $$

• Aproximações de ordem ainda maior podem ser obtidas com outras combinações, em particular incluindo outros pontos $u(x+2h)$, $u(x-2h)$, etc.

Aproximação da segunda derivada¶

• Aproximações para a segunda derivada também podem ser obtida com combinações apropriadas.

• Por exemplo, uma aproximação de segunda ordem clássica é

$$ (\delta_h^2u)(x) = \frac{u(x+h) - 2u(x) + u(x-h)}{h^2} = u''(x) + \mathcal{O}(h^2). $$

• Verifique!

• Observe que

$$ \delta_h^2u = \frac{\delta_h^+ - \delta_h^-}{h}. $$

Discretização espacial¶

• A última peça do método de diferenças finitas é a aproximação da função em uma malha discreta, com um número finito de pontos.

Discretização unidimensional uniforme¶

• No caso de uma dimensão espacial, em um intervalo $I=[0,L]$, podemos considerar uma malha uniforme composta por $N$ pontos $0=x_1<x_2<\ldots<x_N=L$, com um espaçamento igual $x_{i+1}-x_i =h$, $i=1, \ldots, n$, onde $h>0$ é constante.

• Nesse caso, temos $N$ pontos e $N-1$ intervalos, com $(N-1)h=L$ e $x_i = (i-1)h$.

Discretização unidimensional não-uniforme¶

• A discretização não precisa ser uniforme.

• Podemos considerar qualquer malha satisfazendo $0=x_1<x_2<\ldots<x_N=L$.

• Pode ser útil, por exemplo, ter um espaçamento menor em regiões onde a derivada tem uma variação maior.

• Podemos construir malhas não-uniformes com simples transformações.

• Por exemplo, considerando $s_i = (i-1)h$, $i=1, \ldots, N$, com $h>0$ constante e $(N-1)h=1$, que é uma malha uniforme no intervalo unitário $[0,1]$, podemos definir

$$ x_i = \frac{L}{2}\left( 1 + \cos(\pi s_i)\right), \qquad i=1,\ldots, N. $$

• Mais explicitamente,

$$ x_i = \frac{L}{2}\left( 1 + \cos\left({\frac {2i-1}{2N}}\pi \right)\right), \qquad i=1,\ldots, N. $$

• Esses pontos são conhecidos como pontos de Chebyshev e podem ser interpretados como as coordenadas, no eixo $x$, de pontos uniformemente espaçados no semicírculo superior de um círculo de diâmetro $L$.

Discretização espacial bidimensional uniforme¶

• Essa ideia pode ser estendida a dimensões maiores de forma natural.

• No caso de um domínio bidimensional retangular $\Omega = (0,L_x) \times (0,L_y)$, considerando espaçamentos uniformes $h_x$ e $h_y$, com $N_x$ pontos no eixo $x$ e $N_y$ pontos no eixo $y$, temos

$$ 0 = x_1 < \ldots < x_{N_x} = L_x, \quad (N_x-1)h_x = L_x, \qquad 0 = y_1 < \ldots < y_{N_y} = L_y, \quad (N_y-1)h_y = L_y $$

Discretização bidimensional não-uniforme¶

• Da mesma forma, podemos considerar malhas não-uniformes

• A malha pode ser não-uniforme na direção de ambos os eixos ou em apenas um deles

Resolvendo EDPs em Julia¶

• O artigo Solving PDEs in Julia (JuliaCon 2018 workshop), por Chris Rackauckas dá uma boa ideia de métodos e exemplos de resolução de EDPs em Julia.

• O artigo está um pouco desatualizado, pois é de 2018 e a linguagem e, principalmente, os pacotes de resolução de equações diferenciais têm evoluido muito rapidamente.

• Mas ainda assim o artigo pode ser útil.

• Um novo artigo, com o mesmo espírito desse, está em vias de ser escrito.