TP noté n°2 - éléments de correction

$\require{color}$ $\require{xcolor}$ $\newcommand{\myfbox}[1]{\fcolorbox{red}{white}{$\textrm{#1}$}}$ $\require{stmaryrd}$ $\newcommand{\ient}{[\![}$ $\newcommand{\fient}{]\!]}$ $\newcommand{\R}{\mathbb R}$ $\newcommand{\K}{\mathbb K}$ $\newcommand{\N}{\mathbb N}$ $\newcommand{\C}{\mathbb C}$ $\newcommand{\id}{\operatorname{Id}}$ $\newcommand{\mat}{\operatorname{mat}}$ $\newcommand{\sp}{\operatorname{Sp}}$ $\newcommand{\In}{\operatorname{I}}$ $\newcommand{\vect}{\operatorname{Vect}\ }$ $\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}$ $\newcommand{\tr}{\operatorname{Tr}}$ $\newcommand{\dis}{\displaystyle}$ $\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}$ $\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}$ $\newcommand{\bordermatrix}[3]{ \begin{matrix} \begin{matrix}#1\end{matrix} & \\ #3 & \hspace{-1em} \begin{matrix}#2\end{matrix} \end{matrix}}$ $\newcommand{\fonction}[5]{#1\ \colon \left\{\begin{array}{ccl}#2 & \longrightarrow & #3\\#4 & \longmapsto & #5\end{array}\right.}$ $\newcommand{\revdots}{\mathinner{\mkern1mu\raise1pt{\kern7pt\hbox{.}}\mkern2mu\raise4pt\hbox{.}\mkern2mu\raise7pt\hbox{.}\mkern1mu}}$ $\newcommand{\q}[1]{{\bf Q #1}\rhd}$

In [4]:

import matplotlib.pyplot as plt

Exercice 1 - Couples pythagoriciens

$\q{1}$ On peut par exemple écrire la fonction suivante :

In [1]:

def carre(n):
    return abs(n**0.5 - int(n**0.5)) < 1e-10

In [2]:

carre(25)

Out[2]:

True

In [3]:

carre(42)

Out[3]:

False

$\q{2}$ On représente graphiquement les couples demandés :

In [12]:

X = []
Y = []

for x in range(1001):
    for y in range(1001):
        if carre(x**2 + y**2):
            X.append(x)
            Y.append(y)
plt.scatter(X, Y, s=5)
plt.axis("equal")
plt.show()

$\q3$ On adapte le script précédent :

In [6]:

def pgcd(a, b):
    assert (a >= b)
    while b > 0:
        a, b = b, a % b
    return a

In [11]:

X = []
Y = []

for x in range(1001):
    for y in range(x+1):
        if carre(x**2 + y**2) and pgcd(x,y)==1:
            X.append(x)
            X.append(y)
            Y.append(y)
            Y.append(x)
plt.scatter(X, Y, s=5)
plt.axis("equal")
plt.show()

Exercice 2. Lancers de dés

$\q4$ On utilise des listes par compréhension (ce qui a également l'avantage de ne pas provoquer d'effet de bord) :

In [16]:

def rajouter_lancer(lancers, de):
    return [L + [i] for L in lancers for i in range(1, de + 1)]

In [17]:

rajouter_lancer([[3, 5], [6, 1]], 4)

Out[17]:

[[3, 5, 1],
 [3, 5, 2],
 [3, 5, 3],
 [3, 5, 4],
 [6, 1, 1],
 [6, 1, 2],
 [6, 1, 3],
 [6, 1, 4]]

$\q5$ On utilise la fonction précédente :

In [22]:

def liste_lancers(jeu):
    L = [[]]
    for de in jeu:
        L = rajouter_lancer(L, de)
    return L

In [23]:

liste_lancers([4, 2])

Out[23]:

[[1, 1], [1, 2], [2, 1], [2, 2], [3, 1], [3, 2], [4, 1], [4, 2]]

$\q6$ On utilise la fonction précédente :

In [24]:

def resultats(jeu):
    return [sum(L) for L in liste_lancers(jeu)]

In [25]:

resultats([4, 2])

Out[25]:

[2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6]

$\q7$ On construit le dictionnaire comme lors du TP correspondant :

In [33]:

def occurrences(jeu):
    dico = {}
    for r in resultats(jeu):
        if r in dico:
            dico[r] += 1
        else:
            dico[r] = 1
    return dico

In [36]:

dico = occurrences([4, 2])
dico

Out[36]:

{2: 1, 3: 2, 4: 2, 5: 2, 6: 1}

$\q8$ On modifie la fonction précédente de la façon suivante :

In [38]:

def probas(jeu):
    dico = {}
    R = resultats(jeu)
    cst = 1 / len(R)
    for r in R:
        if r in dico:
            dico[r] += cst
        else:
            dico[r] = cst
    return dico

In [39]:

dico = probas([4, 2])
dico

Out[39]:

{2: 0.125, 3: 0.25, 4: 0.25, 5: 0.25, 6: 0.125}

$\q9$ On trace la courbe des probabilités demandée :

In [41]:

jeu = [6, 6, 6]
P = probas(jeu)
X = P.keys()
Y = P.values()
plt.plot(X, Y, "o")
plt.show()

$\q{10}$

In [44]:

def proba_cumul_inv(jeu):
    dico = probas(jeu)
    return {cle : sum([dico[p] for p in dico if p>=cle]) for cle in dico}

In [46]:

dico=proba_cumul_inv([4,2])
dico[3]

Out[46]:

0.875

$\q{11}$

In [48]:

jeu = [6, 6, 6]
P = proba_cumul_inv(jeu)
X = P.keys()
Y = P.values()
plt.plot(X, Y, "o")
plt.show()

$\q{12}$

In [49]:

types_des = [4, 6, 8, 12, 20]

In [50]:

def rajouter_de(jeux):
    return [L + [i] for L in jeux for i in types_des]

In [51]:

rajouter_de([[4, 6], [8, 4]])

Out[51]:

[[4, 6, 4],
 [4, 6, 6],
 [4, 6, 8],
 [4, 6, 12],
 [4, 6, 20],
 [8, 4, 4],
 [8, 4, 6],
 [8, 4, 8],
 [8, 4, 12],
 [8, 4, 20]]

In [52]:

def liste_jeux(n):
    L = [[]]
    for k in range(n):
        L = rajouter_de(L)
    return L

In [53]:

len(liste_jeux(3))

Out[53]:

In [ ]: