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Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée.
Description de la construction :Activer la figure dynamique ci-dessous, qui permet de visualiser les polygones $P_n$ pour les premières valeurs de $n$.
La figure initiale est un triangle équilatéral $P_0$ de côté $1$.
À chaque étape, le polygone $P_n$ étant construit avec des côtés de longueur $a_n$, on obtient le polygone $P_{n+1}$ en remplaçant chaque côté par une ligne polygonale à quatre segments de longueur $a_{n+1}=\displaystyle \frac{a_n}{3}$ , vers l’extérieur.
#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/Flocon_Von_Koch.html'))
Notations :
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on note :
- $\color{#3F48CC}{c_n}$ le nombre de côtés du polygone $P_n$ ;
- $\color{#22B14C}{a_n}$ la longueur des côtés du polygone $P_n$ ;
- $\color{#A349A4}{p_n}$ le périmètre du polygone $P_n$ ;
- $\color{#E36C0A}{A_n}$ l'aire du polygone $P_n$.
2.1. $\;$a. Donner les valeurs de $c_0$ ; $c_1$ et $c_2$.
$\quad\;\;$ b. Quelle est la nature de la suite $(c_n)_{n\geq0}$ ? Exprimer $c_n$ en fonction de $n$.
$\quad\;\;$ c. Combien le polygone $P_5$ a-t-il de côtés ?
$\quad\;\;$ d. Déterminer $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}{c_n}$.
$\quad\;\;$ e. Écrire une fonction Python c d'argument n permettant le calcul de $c(n)$.
$\quad\quad\;$ Effectuer ensuite les saisies nécessaires pour vérifier le résultat de la question 2.1.c.
# Écrire ici la fonction c permettant le calcul de c(n)
def c(n):
"Fonction qui calcule le nombre de côtés du polygone P_n"
return 3*4**n
# Effectuer ici la saisie pour vérifier le résultat de la question 2.1.c.
c(5)
3072
2.2. $\;$a. Donner les valeurs exactes de $a_0$ ; $a_1$ et $a_2$.
$\quad\;\;$ b. Quelle est la nature de la suite $(a_n)_{n\geq0}$ ? Exprimer $a_n$ en fonction de $n$.
$\quad\;\;$ c. Quelle est la longueur des côtés du polygone $P_5$ ?
$\quad\;\;$ d. Déterminer $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}{a_n}$.
$\quad\;\;$ e. La fonction Python a d'argument n donnée ci-dessous permet le calcul de la valeur exacte de $a(n)$.
$\quad\quad\;$ Effectuer la saisie nécessaire pour vérifier le résultats de la questions 2.2.c.
from sympy import Rational
# Cet import permet d'utiliser la fonction Rational pour effectuer des calculs de fractions sous forme exacte
def a(n):
"Fonction qui calcule la longueur des côtés du polygone P_n"
return Rational(1,3**n)
# Effectuer ici la saisie pour vérifier le résultat de la question 2.2.c.
a(5)
2.3. $\;$a. Exprimer $p_n$ en fonction de $c_n$ et $a_n$.
$\quad\;\;$ b. Déterminer la valeur exacte du périmètre de $P_5$.
$\quad\;\;$ c. Écrire une fonction Python p d'argument n permettant le calcul de la valeur exacte de $p_n$
$\quad\quad\;$ (on effectuera des appels aux fonctions précédentes avec les syntaxes c(n) et a(n)).
$\quad\quad\;$ Effectuer la saisie nécessaire pour vérifier le résultat de la question 2.3.b.
# Écrire ici la fonction p permettant le calcul de p(n) sous forme exacte
def p(n):
"Fonction qui calcule le périmètre du polygone P_n"
return a(n)*c(n)
# Effectuer ici la saisie pour vérifier le résultat de la question 2.3.b.
p(5)
3.1. $\;$Démontrer qu'un triangle équilatéral de côté $a>0$ a pour aire $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.
3.2. $\;$Donner la valeur de $A_0$.
3.3. $\;$a. Combien de triangles sont ajoutés lorsqu'on passe de la figure $P_0$ à $P_1$ ? Que vaut l'aire ajoutée ? En déduire la valeur de $A_1$.
$\quad\;\;$ b. On fournit ci-dessous la fonction Python AireEqui d'argument a qui permet le calcul de la valeur exacte d'un triangle de côté $a$.
$\quad\quad\;$ Effectuer la saisie nécessaire pour effectuer le calcul de $A_1$ de la question 3.3.a.
$\quad\quad\;$ (on utilisera respectivement les syntaxes a(0) et a(1) pour les longueurs des côtés de $P_0$ et $P_1$)
from sympy import sqrt
# Cet import permet d'utiliser la fonction sqrt pour effectuer des calculs avec racines carrées sous forme exacte
def AireEqui(a):
"Fonction qui calcule l'aire d'un triangle équilatéral de côté a (sous forme exacte)"
return sqrt(3)*Rational(a**2,4)
# Effectuer ici la saisie pour retrouver le résultat de la question 3.3.a.
AireEqui(a(0))+3*AireEqui(a(1))
def A(n):
"fonction qui calcule l'aire du polygone P_n (sous forme exacte)"
if n==0: return AireEqui(1)
return A(n-1)+c(n-1)*sqrt(3)*Rational(a(n)**2,4)
A(1)
A(1).evalf()
# Utiliser ces zones pour les saisies demandées
A(5)
A(5).evalf()
A(10)
A(10).evalf()
A(100)
A(100).evalf()
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