Hier eine Schritt-für-Schritt-Erklärung der Definition:
Wir haben zwei geordnete Mengen $(M,\unlhd), (M',\unlhd')$ gegeben und eine totale Funktion (Abbildung) $f : M \to M'$, die die erste (geordnete) Menge $M$ als Definitionsbereich hat und die zweite (geordnete) Menge $M'$ als Wertebereich. Diese Abbildung $f$ ist ordnungserhaltend, wenn
Anders gesagt, $f(x)=x'$ und $f(y)=y'$. Und wenn $x\unlhd y$, dann auch $x'\unlhd' y'$.
$f:\mathbb{N}_0\to\mathbb{N}_0$ mit $f(x)=2x$ als Abbildung von $(\mathbb{N}_0,\leq)$ nach $(\mathbb{N}_0,\leq)$. Sei $x,y \in \mathbb{N}_0$ mit $x=3,y=4$. Es gilt: $x \leq y$ und $f(x)\leq f(y) \leftrightarrow 6\leq 8$. $f$ ist hier also eine ordnungserhaltende Abbildung. Es gibt nämlich keine $x,y$, für die $x\leq y$ gilt, aber $f(x)\leq f(y)$ nicht.
$f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ mit $f(x)=x^2$ als Abbildung von $(\mathbb{Z},\leq)$ nach $(\mathbb{Z},\leq)$ ist nicht ordnungserhaltend. Hier ist ein Beispiel, das die Ordnung durcheinanderbringt: Für $x,y\in \mathbb{Z}$ mit $x=-6,y=2$ gilt natürlich $x \leq y$. Es gilt aber nicht $f(x) \leq f(y)$, denn $f(x)=36$ und $f(y)=4$.
Bei ordnungserhaltenden Abbildungen ging es um eine Implikation vom Definitions- in den Wertebereich der Abbildung $f:M \to M'$: Wenn in der Menge $M$ etwas der Fall ist, muss es ebenso in $M'$ der Fall sein. Bei ordnungsreflektierenden Abbildungen ist es genau anders: Eine Abbildung $f: M \to M'$ heißt ordnungsreflektierend, wenn aus $f(x) \unlhd' f(y)$ folgt, dass $x \unlhd y$.
Unterschied zwischen Ordnungseinbettung Isomorphismus
Bei ordnungserhaltenden und -reflektierenden Abbildungen wählen wir zwei Elemente $x,y$ aus $M$ und treffen Aussagen auf Grundlage dieser beiden Elemente. Uns interessiert dabei nicht, ob in $M'$ nicht vielleicht Elemente sind, die gar keinem Element aus $M$ als Wert zugeordnet wurden. Im linken Beispiel könnte die Menge $M'$ z.B. ein fünftes Element $4$ haben, das $\le$ alle anderen Elemente aus $M'$ ist und das keinem Element aus $M$ als Wert zugeordnet wurde. Dann ist die gezeigt Abbildung immer noch eine Ordnungseinbettung. Sie ist aber kein Ordnungsisomorphismus mehr. Für diesen muss nämlich gelten, dass die Abbildung $f$ bijektiv ist. $f^{-1}$ muss also auch eine Abbildung $f: M' \to M$ sein oder, anders gesagt, $f$ muss jedes Element aus $M'$ erreichen. Die linke Abbildung aus dem Video zu ordnungserhaltenden und -reflektierenden Abbildungen ist also ein Ordnungsisomorphismus:
Gegeben:
Bei zwei beliebigen Elementen $x,y\in M$ ist $f$ eine