import math
El logaritmo natural de $(1 + x)$ puede aproximarse mediante la serie de Maclaurin (serie de Taylor para $\ln(1 + x)$ centrada en 0):
$$ \ln(1 + x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \cdot x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \quad \text{(válido para } -1 < x \leq 1\text{)} $$def approx_ln(x,N):
if x<=-1 and x>=1:
return None
suma=0
for n in range(1,N):
suma+=(-1)**(n+1)*(x**n)/n
return suma
# Ejemplo de uso
x = 0.5 # Debe estar en (-1, 1]
N = 10
aprox_ln = approx_ln(x, N)
real_ln = math.log(1 + x)
print(f"Aproximación de ln(1 + {x}) con {N} términos: {aprox_ln}")
print(f"Valor real de ln(1 + {x}): {real_ln}")
print(f"Diferencia: {abs(real_ln - aprox_ln)}")
Aproximación de ln(1 + 0.5) con 10 términos: 0.4055323040674603 Valor real de ln(1 + 0.5): 0.4054651081081644 Diferencia: 6.719595929594036e-05
Dos números naturales $a$ y $b$ se llaman números amigos si la suma de los divisores propios (excluyendo el número mismo) de $a$ es igual a $b$, y viceversa.
Por ejemplo, 220 y 284 son números amigos porque:
Escribe un programa que encuentre todos los pares de números amigos en un rango dado (por ejemplo, entre 1 y 10000).
def suma_divisores_propios(n):
"""Calcula la suma de los divisores propios de un número (excluyendo al mismo número)"""
if n == 1:
return 0
suma = 1 # 1 es divisor propio para todos los números > 1
for i in range(2, n-1):
if n % i == 0:
suma += i
return suma
def encontrar_numeros_amigos(limite_inferior, limite_superior):
"""Encuentra todos los pares de números amigos dentro del rango especificado"""
pares_amigos = set()
for a in range(limite_inferior, limite_superior + 1):
b = suma_divisores_propios(a)
# Verificamos si b está en el rango y si la suma de divisores de b es igual a a
if (limite_inferior <= b <= limite_superior and suma_divisores_propios(b) == a):
pares_amigos.add((a, b))
return sorted(pares_amigos)
# Definir el rango
print("Buscador de números amigos")
lim_inf = 1
lim_sup=10000
# Encontrar y mostrar los pares de números amigos
pares = encontrar_numeros_amigos(lim_inf, lim_sup)
if pares:
print("\nPares de números amigos encontrados:")
for par in pares:
print(f"{par[0]} y {par[1]}")
else:
print("\nNo se encontraron pares de números amigos en el rango especificado.")
Buscador de números amigos Pares de números amigos encontrados: 6 y 6 28 y 28 220 y 284 284 y 220 496 y 496 1184 y 1210 1210 y 1184 2620 y 2924 2924 y 2620 5020 y 5564 5564 y 5020 6232 y 6368 6368 y 6232 8128 y 8128
def encontrar_numeros_amigos(limite_inferior, limite_superior):
"""Encuentra todos los pares de números amigos dentro del rango especificado"""
pares_amigos = set()
for a in range(limite_inferior, limite_superior + 1):
b = suma_divisores_propios(a)
# Verificamos si b está en el rango, si la suma de divisores de b es igual a a y si b es mayor que a
if (limite_inferior <= b <= limite_superior and suma_divisores_propios(b) == a and b>a):
pares_amigos.add((a, b))
return sorted(pares_amigos)
# Definir el rango
print("Buscador de números amigos")
lim_inf = 1
lim_sup=10000
# Encontrar y mostrar los pares de números amigos
pares = encontrar_numeros_amigos(lim_inf, lim_sup)
if pares:
print("\nPares de números amigos encontrados:")
for par in pares:
print(f"{par[0]} y {par[1]}")
else:
print("\nNo se encontraron pares de números amigos en el rango especificado.")
Buscador de números amigos Pares de números amigos encontrados: 220 y 284 1184 y 1210 2620 y 2924 5020 y 5564 6232 y 6368
Pista: La función suma_divisores_propios se puede optimizar
def suma_divisores_propios(n):
"""Calcula la suma de los divisores propios de un número (excluyendo al mismo número)"""
if n == 1:
return 0
suma = 1 # 1 es divisor propio para todos los números > 1
for i in range(2, int(n/2)+1):
if n % i == 0:
suma += i
return suma