Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS)
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil (PPGEC)
PEC00025: Introduction to Vibration Theory¶
Test P1 (2022/1): time and frequency domain analysis of sdof systems¶
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Instruções¶
- Entregar a resolução da prova em arquivo único, com no máximo 10Mb, até as 18h de hoje, 25 de abril de 2022.
- Recomenda-se verificar atentamente se todas as folhas da resolução foram incluídas no arquivo gerado, pois não serão aceitas entregas posteriores.
- Na primeira folha do arquivo deve constar claramente o NOME e o cartão de MATRÍCULA.
- A consulta ao material de estudo e o uso do computador para cálculos são LIVRES.
- A prova deve ser realizada INDIVIDUALMENTE, sem recorrer ao auxílio de colegas ou outras pessoas! Caso se verifique o descumprimento desta regra, todos os envolvidos na fraude terão a nota da prova zerada.
In [1]:
# Importing Python modules required for this notebook
# (this cell must be executed with "shift+enter" before any other Python cell)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from MRPy import *
Questão 1¶
Um cabo com comportamento elástico linear é disposto horizontalmente. O cabo tem comprimento total $L = 4{\rm m}$, rigidez axial $EA = 4000{\rm kN}$, e uma massa $m = 20{\rm kg}$ fixada no seu centro. O cabo tem uma protensão inicial $T_0 = 20{\rm kN}$. O amortecimento do sistema é $\zeta = 0.01$ (razão do crítico). A rigidez à flexão bem como a massa do cabo são desprezáveis. A aceleração da gravidade no local é $g = 9.81{\rm m/s^2}$. O grau de liberdade considerado é o deslocamento vertical da massa $m$.
Admitindo-se uma condição de pequenos deslocamentos, pergunta-se:
- Qual o deslocamento $u_{\rm est}$ devido ao peso próprio?
- Qual a frequência natural de vibração livre do sistema cabo-massa?
- Liberando-se a massa a partir da posição $u(0) = 0{\rm m}$, sob ação da gravidade, qual a maior amplitude atingida por $u(t)$?
- Desconsiderando-se a parcela estática do deslocamento e dado um deslocamento inicial $u_0 = 4{\rm cm}$, qual o tempo transcorrido até que a amplitude de vibração caia à metade deste valor?
In [2]:
L = 4.
m = 20.
zt = 0.01
T0 = 20000.
g = 9.81
k = 4*T0/L
ug = m*g/k
fn = np.sqrt(k/m)/2/np.pi
N = np.log(2)/(2*np.pi*zt)
print(' A rigidez ligada à massa é {0:4.0f}N/m.\n'.format(k))
print('1) Deslocamento por peso póprio é {0:3.2f}mm.\n'.format(1000*ug))
print('2) Frequência natural é {0:3.2f}Hz.\n'.format(fn))
print('3) Deslocamento dinâmico é {0:5.2f}mm.\n'.format(2000*ug))
print('4) Tempo até meia amplitude é {0:3.2f}s. \n'.format(N/fn))
A rigidez ligada à massa é 20000N/m. 1) Deslocamento por peso póprio é 9.81mm. 2) Frequência natural é 5.03Hz. 3) Deslocamento dinâmico é 19.62mm. 4) Tempo até meia amplitude é 2.19s.
Questão 2¶
A massa central do problema anterior é submetida a uma carga transiente, $F(t)$, dada pela função abaixo, com amplitude $F_0 = 500{\rm N}$ e duração $T_{\rm d} = 0.5{\rm s}$. A variável $\tau$ representa o tempo adimensionalizado por $T_{\rm d}$.
Desconsiderando-se a parcela estática da resposta (devida ao peso próprio), pergunta-se:
- Qual o maior amplitude de deslocamento atingida?
- Qual o fator de amplificação dinâmica para este carregamento?
In [3]:
Td = 0.05
F0 = 500.
t = np.linspace(0, 2*Td, 512)
τ = t/Td
fs = 512/(2*Td)
dt = 1/fs
F = 4*F0*(τ - τ**2)
F[t > Td] = 0.
F = MRPy(F, fs=fs)
F.plot_time(fig=1, figsize=(10,4), axis_t=[0, 2*Td, -200, 800]);
In [4]:
u = F.sdof_Duhamel(fn, zt, U0=0., V0=0.)/m
u.plot_time(fig=2, figsize=(10,4), axis_t=[0, 2*Td,-0.01, 0.05]);
ue = F0/k
up = u.max()
print('0) Deslocamento estático é {0:3.2f}mm.\n'.format(1000*ue))
print('1) Deslocamento de pico é {0:3.2f}mm.\n'.format(1000*up))
print('2) Amplificação dinâmica é {0:3.2f} (adim.).\n'.format(up/ue))
0) Deslocamento estático é 25.00mm. 1) Deslocamento de pico é 24.31mm. 2) Amplificação dinâmica é 0.97 (adim.).
In [5]:
I = np.sum(F)*dt
v0 = I/m
ud = v0/(2*np.pi*fn)
print('0) O impulso é {0:5.2f}Ns.\n'.format(I))
print('1) A velocidade inicial é {0:5.2f}m/s.\n'.format(v0))
print('1) Deslocamento de pico é {0:3.2f}mm.\n'.format(1000*ud))
print('2) Amplificação dinâmica é {0:3.2f} (adim.).\n'.format(ud/ue))
0) O impulso é 16.63Ns. 1) A velocidade inicial é 0.83m/s. 1) Deslocamento de pico é 26.30mm. 2) Amplificação dinâmica é 1.05 (adim.).
Questão 3¶
Uma viga com comportamento elástico linear é disposta horizontalmente. A viga tem comprimento total $L = 4{\rm m}$, rigidez à flexão $EI = 6.5{\rm kN m^2}$, e uma massa $m = 20{\rm kg}$ fixada no seu centro. O amortecimento do sistema é $\zeta = 0.01$ (razão do crítico). A massa da viga é desprezável. A aceleração da gravidade no local é $g = 9.81{\rm m/s^2}$. O grau de liberdade considerado é o deslocamento vertical da massa $m$.
Pergunta-se:
- Qual o deslocamento $u_{\rm est}$ devido ao peso próprio?
- Qual a frequência natural de vibração livre do sistema viga-massa?
- Liberando-se a massa a partir da posição $u(0) = 0{\rm m}$, qual a maior amplitude atingida por $u(t)$ devida à ação da gravidade?
- Desconsiderando-se a parcela estática do deslocamento e dado um deslocamento inicial $u_0 = 4{\rm cm}$, qual o tempo transcorrido até que a amplitude de vibração caia à metade deste valor?
In [6]:
L = 4.
m = 20.
EI = 6500.
zt = 0.01
g = 9.81
k = 48*EI/(L**3)
ug = m*g/k
fn = np.sqrt(k/m)/2/np.pi
N = np.log(2)/(2*np.pi*zt)
print('1) Deslocamento estático é {0:3.2f}mm.\n'.format(1000*ug))
print('2) Frequência natural é {0:3.2f}Hz.\n'.format(fn))
print('3) Pico do deslocamento dinâmico é {0:3.2f}mm.\n'.format(2000*ug))
print('4) Tempo até meia amplitude é {0:3.2f}s. \n'.format(N/fn))
1) Deslocamento estático é 40.25mm. 2) Frequência natural é 2.48Hz. 3) Pico do deslocamento dinâmico é 80.49mm. 4) Tempo até meia amplitude é 4.44s.
Questão 4¶
A extremidade esquerda da viga é submetida a uma aceleração sísmica $a(t)$ com densidade espectral $S_a(f)$, dada na figura abaixo, onde $\sigma_a = 0.1g$ (10% da gravidade) e $r = 10$ (eixo das frequências em hertz).
Admitindo-se que a força sísmica na massa central é dada aproximadamente pelo produto da massa pela metade da aceleração no apoio esquerdo, conforme indicado na figura da viga, e fazendo-se a hipótese de pequenos deslocamentos, pergunta-se:
- Qual o valor r.m.s. da resposta em deslocamento $u(t)$?
- Qual o valor r.m.s. da resposta em aceleração $\ddot{u}(t)$?
- Qual o valor de pico do deslocamento esperado para 1 minuto de excitação estacionária?
4.1 Solução no domínio da frequência¶
In [7]:
M = 1025
σa = 0.1*g
r = 10.
f = np.linspace(0, 2*r, M)
fs = 2*f[-1]
Sa = np.zeros_like(f)
#Sa[f > 1/r] = (σa**2)/(2*np.log(r))*(1/f[f > 1/r])
#Sa[f < 1/r] = 0.
#Sa[f > r ] = 0.
kf = (f > 1/r) & (f < r)
Sa[kf] = (σa**2)/(2*np.log(r))*(1/f[kf])
sa2 = np.trapz(Sa, f)
sa = np.sqrt(sa2)/g
print('Amplitude r.m.s. pela integral do espectro é {0:6.5f}g.\n'.format(sa))
SF = ((m/2)**2)*Sa
plt.figure(3, figsize=(10,4), clear=True)
plt.semilogy(f, SF);
plt.grid(True)
plt.axis([0, 2*r, 1e-0, 1e3])
plt.xlabel('Frequência (Hz)')
plt.ylabel('Espectro da força [N²/Hz]');
Amplitude r.m.s. pela integral do espectro é 0.09919g.
In [8]:
H2 = lambda fi: 1/( (1 - (fi/fn)**2)**2 + (2*zt*(fi/fn))**2 )/(k**2)
Su = H2(f)*SF
plt.figure(4, figsize=(10,4), clear=True)
plt.semilogy(f, Su);
plt.grid(True)
plt.axis([0, 2*r, 1e-10, 1e-2])
plt.xlabel('Frequência (Hz)')
plt.ylabel('Espectro do deslocamento [m²/Hz]');
In [9]:
su2 = np.trapz( Su, f)
su4 = np.trapz(f*f*Su, f)
nu = np.sqrt(su4/su2)
lnu = np.sqrt(2*np.log(60*nu)) # Tempo de excitação é 60 segundos!
g = lnu + 0.5772/lnu
su = 1000*np.sqrt(su2)
up = g*su
SaG = ((2*np.pi*f)**4)*Su
sa = np.sqrt(np.trapz(SaG, f))
print('(Fator de pico da resposta em deslocamento é {0:3.2f})\n'.format(g))
print('1) Amplitude r.m.s. da resposta em deslocamento é {0:3.2f}mm.\n'.format(su))
print('2) Amplitude r.m.s. da resposta em aceleração é {0:5.4f}m/s².\n'.format(sa))
print('3) Amplitude de pico da resposta (60s) é {0:3.2f}mm.\n'.format(up))
print(nu)
(Fator de pico da resposta em deslocamento é 3.34) 1) Amplitude r.m.s. da resposta em deslocamento é 8.45mm. 2) Amplitude r.m.s. da resposta em aceleração é 2.0362m/s². 3) Amplitude de pico da resposta (60s) é 28.22mm. 2.43602127875121
4.2 Solução no domínio do tempo por simulação¶
In [10]:
Fa = MRPy.from_periodogram(SF, fs=fs)
t = Fa.t_axis()
plt.figure(5, figsize=(10,4), clear=True)
plt.plot(t, Fa[0], lw=0.5);
plt.grid(True)
plt.axis([0, Fa.Td, -40, 40])
plt.xlabel('Frequência (Hz)')
plt.ylabel('Força (N)');
In [11]:
Ua = Fa.sdof_Duhamel(fn, zt)/m
sua = Ua.std()
pua = np.max(np.abs(Ua))
print('1) Amplitude r.m.s. da resposta em deslocamento é {0:3.2f}mm.\n'.format(1000*sua))
print('3) Amplitude de pico da resposta (60s) é {0:3.2f}mm.\n'.format(1000*pua))
plt.figure(6, figsize=(10,4), clear=True)
plt.plot(t, 1000*Ua[0], lw=0.5);
plt.grid(True)
plt.axis([0, Ua.Td, -40, 40])
plt.xlabel('Tempo (s)')
plt.ylabel('Deslocamento (mm)');
1) Amplitude r.m.s. da resposta em deslocamento é 7.65mm. 3) Amplitude de pico da resposta (60s) é 21.68mm.
In [12]:
a = Ua.differentiate(band=[1/r, r])
a = a.differentiate(band=[1/r, r])
print('2) Amplitude r.m.s. da resposta em aceleração é {0:5.4f}m/s².\n'.format(a.std()))
plt.figure(7, figsize=(10,4), clear=True)
plt.plot(t, a[0], lw=0.5);
plt.grid(True)
plt.axis([0, a.Td, -10, 10])
plt.xlabel('Tempo (s)')
plt.ylabel('Aceleração (m/s²)');
2) Amplitude r.m.s. da resposta em aceleração é 1.9411m/s².
In [13]:
Sa, fs = a.periodogram()
plt.figure(8, figsize=(10,4), clear=True)
plt.semilogy(a.f_axis(), Sa[0], lw=0.5);
plt.grid(True)
plt.axis([0, 2*r, 1e-5, 1e3])
plt.xlabel('Tempo (s)')
plt.ylabel('Aceleração (m/s²)');
plt.figure(9, figsize=(10,4), clear=True)
plt.semilogy(f, SaG);
plt.grid(True)
plt.axis([0, 2*r, 1e-5, 1e3])
plt.xlabel('Frequência (Hz)')
plt.ylabel('Espectro do deslocamento [m²/Hz]');
In [ ]: